Théorème de Koecher-Vinberg

En algèbre d'opérateurs, le théorème de Koecher-Vinberg est un théorème de reconstruction pour les algèbres de Jordan réelles. Il a été prouvé indépendamment par Max Koecher en 1957 et Ernest Vinberg en 1961. Il permet d'établir une bijection entre les algèbres de Jordan formellement réelles et des objets appelés « domaines de positivité ».

Énoncé

Un cône convexe ${\displaystyle C}$ est dit :

• régulier si ${\displaystyle a=0}$ quand ${\displaystyle a}$ et ${\displaystyle -a}$ sont dans l'adhérence ${\displaystyle {\overline {C}}}$ ;
• autodual (dans un espace euclidien) s'il est égal à son cône dual ${\displaystyle C^{*}}$ ;
• homogène si pour tout couple de points ${\displaystyle a,b\in C}$ il existe une application linéaire ${\displaystyle T\colon A\to A}$ dont la restriction à ${\displaystyle C}$ est une bijection ${\displaystyle C\to C}$ et qui vérifie ${\displaystyle T(a)=b}$.

Le théorème de Koecher-Vinberg énonce que ces précédentes propriétés caractérisent précisément les cônes positifs d'algèbres de Jordan.

Les cônes convexes vérifiant ces quatre propriétés sont appelés « domaines de positivité » ou « cônes symétriques (en) ». Le domaine positivité d'une algèbre de Jordan formellement réelle ${\displaystyle A}$ est l'intérieur de son cône « positif » ${\displaystyle A_{ }:=\{a^{2}\mid a\in A\}}$.

Preuve

Voir Koecher 1999 ou Faraut et Korányi 1994.

Références

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